【题目】如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO;
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°;
①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为 ,求线段CF的长.
【答案】(1)答案见解析;(2)①45°;②4
【解析】试题分析:
(1) 要证AC平分∠DAO,就是要证∠DAC=∠OAC. 观察图形易知,在等腰三角形AOC中,∠OAC=∠OCA. 根据切线的性质定理可知,OC⊥CD,结合已知条件易知AD∥OC. 利用内错角的相等关系,可以证明∠OCA=∠DAC,进而证明AC平分∠DAO.
(2) 由AD∥OC可知,∠DAO=∠EOC. 在△COE中,利用已知条件和三角形内角和,可以求得∠OCE的度数. 观察图形可知,线段CF是⊙O的一条弦. 考虑利用垂径定理的相关知识求解线段CF的长. 过圆心O作弦CF的垂线,垂足设为G,则点G为弦CF的中点. 根据垂直关系和∠OCE的度数不难发现△OGC是等腰直角三角形. 结合已知条件,在△OGC中利用勾股定理可以求得线段CG的长,进而得到线段CF的长.
试题解析:
(1) 证明:
∵直线CD与⊙O相切,点C在⊙O上,
∴OC⊥CD,
∵AD⊥CD,OC⊥CD,
∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠OCA.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠DAO.
(2) ①∵AD∥OC,∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°,
∵∠E=30°,
∴在△COE中,∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.
②
如图,过点O作OG⊥CE,垂足为G.
根据垂径定理,得FG=CG.
∵OG⊥CE,∠OCE=45°,即∠OCG=45°,
∴在Rt△OGC中,∠COG=∠OCG=45°,
∴CG=OG.
∵⊙O的半径为,
∴OC=,
∴在Rt△OGC中, .
∴CG=2.
∵FG=CG,
∴.
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