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【题目】如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.

(1)求证:AC平分∠DAO;

(2)若∠DAO=105°,∠E=30°;

①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为 ,求线段CF的长.

【答案】(1)答案见解析;(2)①45°;②4

【解析】试题分析

(1) 要证AC平分∠DAO就是要证∠DAC=OAC. 观察图形易知,在等腰三角形AOC中,∠OAC=OCA. 根据切线的性质定理可知OCCD,结合已知条件易知ADOC. 利用内错角的相等关系,可以证明∠OCA=DAC进而证明AC平分∠DAO.

(2) ADOC可知DAO=EOC. 在△COE中,利用已知条件和三角形内角和,可以求得∠OCE的度数. 观察图形可知,线段CF是⊙O的一条弦. 考虑利用垂径定理的相关知识求解线段CF的长. 过圆心O作弦CF的垂线,垂足设为G则点G为弦CF的中点. 根据垂直关系和∠OCE的度数不难发现△OGC是等腰直角三角形. 结合已知条件,在△OGC中利用勾股定理可以求得线段CG的长,进而得到线段CF的长.

试题解析

(1) 证明

∵直线CD与⊙O相切,点C在⊙O上,

OCCD

ADCDOCCD

ADOC

∴∠DAC=OCA.

OC=OA

∴∠OAC=OCA

∴∠DAC=OAC

AC平分∠DAO.

(2) ①∵ADOCDAO=105°

∴∠EOC=DAO=105°

∵∠E=30°

∴在△COE中,∠OCE=180°-EOC-E=180°-105°-30°=45°.

如图,过点OOGCE垂足为G.

根据垂径定理,得FG=CG.

OGCEOCE=45°即∠OCG=45°

∴在RtOGC中,∠COG=OCG=45°

CG=OG.

O的半径为

OC=

∴在RtOGC中, .

CG=2.

FG=CG

.

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