Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且∠C=∠ABF．
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点A是弧BC的中点，且BF=3，求BE的长．

Answer 1

解：（1）BF与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OB、OA，连接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠D+∠DBA=90°，
∵∠D=∠C，∠C=∠ABF，
∴∠ABF+∠DBA=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O切线．

（2）∵A为弧BAC的中点，
∴弧AB=弧AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=∠ABF，
∴∠EBA=∠ABF，
∵∠BAD=90°=∠BAF，
在△BEA和△BFA中
∵，
∴△BEA∽△BFA，
∴BF=BE=3．
分析：（1）连接OB、OA或连接BD，由AB=AC，则∠D=∠C，由∠D+∠DBA=90°，推出∠ABD+∠FBA=90°，推出OB⊥BF即可；
（2）推出∠C=∠ABC=∠ABF，根据ASA证△BEA∽△BFA，推出BF=BE即可．
点评：此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生证明一直线是圆的切线的判定方法，运用全等三角形证明线段相等的方法，综合性较强，难度偏上．