Question

如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四边形DEFG为矩形，DE=cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．
（1）求AC的长度；
（2）将Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止移动，设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，请求出重叠面积y（cm²）与移动时间x（s）的函数关系式（时间不包括起始与终止时刻）；
（3）在（2）的基础上，当Rt△ABC移动至重叠部分的面积时，将Rt△ABC沿边AB向上翻折，并使点C与点C’重合，请求出翻折后Rt△ABC’与矩形DEFG重叠部分的周长．

Answer 1

解：（1）AC=BC•cot∠A=2（cm）；

（2）如图（1）当0＜x＜2时=（）²，
∴y=××2×2即y=x²；
当2≤x≤6时y=S_△ABC=2．
如图（2）当6＜x＜8时，AB交FG于H，
=（）²
∴S_△FHB=（x-6）²
∴y=S_△ABC-S_△FHB=2-（x-6）²=-x²+6x-16
综上所述：y与x的函数关系式为；

（3）当0＜x＜2时，x²=，
∴x=．
如图（3）AB交DE于点M，ACˊ交DE于点N，
则∠AMN=∠CAB=∠BACˊ=30°
∴MN=AN
在Rt△MEB中，MB=2BE=2
∴重叠部分的周长=MN+NC'+C'B+BM=AN+N'C+C'B+BMAC'+BC'+BM=2+2+2=4+2（cm）
当6＜x＜8时，令y=，则2-（x-6）²=
∴（x-6）²=1
∴x₁=7，x₂=5（舍去）
如图（4）Rt△MFB中FB=7-6=1
∴MF=1×cot30°=，AM=MB=2
设MN=AN=a，则NG=
∴+a+=2
∴a=
∴重叠部分周长=C_△AMN=2a+AM=+2（cm）
分析：（1）在直角三角形ABC中，根据BC的长和∠A的与余切值即可求出AC的长；
（2）本题要找出几个关键点：当C与B重合、A与D重合时，x=2．当B与F重合时，x=6；当C与F重合时，x=8；因此本题可分三种情况：
①当0＜x＜2时，此时重合部分是个直角三角形且与三角形ABC相似，可用它们的形似比求出重合部分的面积，
②当2≤x≤6时，重合部分是三角形ACB，因此其面积就是三角形ABC的面积，
③当6＜x＜8时，重合部分是个直角梯形，可参照①的思路进行求解；
（3）可将y的值分别代入（2）的三种情况中，求出符合条件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相关知识进行求解即可．
点评：本题主要考查了直角三角形和矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数的应用等知识，要注意（2）（3）小题要分类讨论，不要漏解．