Question

△ABC是等边三角形，点D是射线上BC上的一个动点（点D不与点B，C重合，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE．
（1）如图1所示，当点D在线段BC上时：①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是哪种特殊的四边形，并说明理由．
（2）探究四边形BCGE是哪种特殊的四边形，并说明理由．如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等；根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠C=60°，再求出∠CBE+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行判断出BE∥CG，然后根据两组对边平行的四边形是平行四边形解答；
（2）根据（1）的思路解答即可．

解答：（1）①证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
∵在△AEB和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；

②四边形BCGE是平行四边形．理由如下：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°，
∴∠CBE+∠C=∠ABE+∠ABC+∠C=∠C+∠ABC+∠C=60°+60°+60°=180°，
∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；

（2）①②都成立．
①的证明与（1）中相同，
②的证明如下：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC，
∵BD∥FG，
∴∠BDE=∠DEG，
∴∠AEB+∠DEG=∠ADC+∠BDE=∠ADE=60°，
∴∠BEG+∠G=（∠AEB+∠DEG）+∠AED+∠G=60°+60°+60°=180°，
∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，难度较大，求出三角形全等是解题的关键．