Question

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x-1）（x+3），然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先解方程-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=4，解得x₁=0，x₂=-2，则-2＜m＜0，设P（m，-$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m+4），G（m，4），则可用m表示PG；
（3）易得△DEH∽△DOB，则判定△PGB与△BOD，由于∠PGB=∠DOB，根据相似三角形的判定方法，当$\frac{PG}{OB}$=$\frac{BG}{OD}$时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED，当$\frac{PG}{OD}$=$\frac{BG}{BO}$时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH，然后分别利用相似比列关于m的方程，再解方程求出m，从而得到满足条件的m的值．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3），
把B（0，4）代入得a•（-1）•3=4，解得a=-$\frac{4}{3}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{4}{3}$（x-1）（x+3），
即y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4；

（2）当y=4时，-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=4，解得x₁=0，x₂=-2，
∴-2＜m＜0，
∵E（m，0），PE⊥x轴，
∴P（m，-$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m+4），
而BC∥x轴，
∴G（m，4），
∴PG=-$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m+4-4=-$\frac{4}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m（-2＜m＜0）；

（3）∵HE∥OB，
∴△DEH∽△DOB，
∵∠PGB=∠DOB，
∴当$\frac{PG}{OB}$=$\frac{BG}{OD}$时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED，
即$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}-\frac{8}{3}m}{4}$=$\frac{-m}{3}$，整理得m²+m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=-1，
当$\frac{PG}{OD}$=$\frac{BG}{BO}$时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH，
即$\frac{-\frac{4}{3}{m}^{2}-\frac{8}{3}m}{3}$=$\frac{-m}{4}$，整理得16m²+23m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=-$\frac{23}{16}$，
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为-1或-$\frac{23}{16}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；灵活运用相似三角形的判定方法；理解坐标与图形性质．