Question

如图，在坐标系中放置矩形ABOC，点B、C分别在x轴和y轴上，且BO=8，OC=6．其中D为线段BO上的一个动点，连接AD，过A作AD的垂线交y轴于F点，并以AF、AD为边作矩形ADEF．
（1）求证：△ABD∽△AFC；
（2）连接EO．记EO与x轴的夹角为α（如图），判断当点D在BO上运动时，∠α的大小是否总保持不变？若∠α的大小不变，请求出tan∠α的值；若∠α的大小发生改变，请举例说明．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=∠FAD=90°，
又∵∠FAC=90°-∠CAD；∠DAB=90°-∠CAD，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ABD=∠ACF=90°
∴Rt△ADB∽RtAFC；
（2）解：∠α的大小总保持不变．理由如下：
过E点作EG⊥x轴于G点，
∵∠BAD+ADB=90°，∠EDO+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠EDO，
又∵∠FAC=∠DAB，
∴∠FAC=∠EDO，
而∠ACF=∠EGD=90°，AF=ED，
∴RtAFC≌RtDEG，
∴DG=AC=BO，FC=EG，
∴GO=BD，
又由（1）得Rt△ADB∽RtAFC，
∴，
在Rt△EOG中，tan∠α=，
∴tan∠α===，
而BO=8，OC=6，
∴AB=6，AC=8，
∴tan∠α==，
∴∠α的大小总保持不变．
分析：（1）由∠BAC=∠FAD=90°，根据等角的余角相等得到∠FAC=∠DAB，然后根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）过E点作EG⊥x轴于G点，根据等角的余角相等得到∠BAD=∠EDO，而∠FAC=∠DAB，则∠FAC=∠EDO，又∠ACF=∠EGD=90°，AF=ED，根据等三角形的判定得到RtAFC≌RtDEG，DG=AC=BO，FC=EG，则GO=BD，由（1）得Rt△ADB∽RtAFC得到，在Rt△EOG中，根据正切的定义得到tan∠α=，代换得到tan∠α===，而BO=8，OC=6，则AB=6，AC=8，于是计算出tan∠α==，即∠α为定值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义．