Question

如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质,三角形中位线定理,圆周角定理

专题：几何综合题

分析：（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=

1

2

BC=2，BD=BC•cos30°=2

3

，
∴AD=BD=2

3

，AB=2BD=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
∵DE⊥AC，
∴DE=

1

2

AD=

1

2

×2

3

=

3

，
AE=AD•cos30°=3，
∴S_△ODE=

1

2

OD•DE=

1

2

×2×

3

=

3

，
S_△ADE=

1

2

AE•DE=

1

2

×

3

×3=

3

2

3

，
∵S_△BOD=

1

2

S_△BCD=

1

2

×

1

2

S_△ABC=

1

4

×4

3

=

3

，
∴S_△OEC=S_△ABC-S_△BOD-S_△ODE-S_△ADE=4

3

-

3

-

3

-

3

2

3

=

3

2

．

点评：此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．