Question

在下列两图中，四边形ABCD为正方形，AB=3，E为边CD上一点，DE=

（1）在图1中，F为正方形ABCD边BC上一点，且∠EAF=30°，求EF．
（2）利用尺规作图，在图2中，在边BC找一点P，使得PA=PE，并求BP．（保留作图痕迹，不写步骤）

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∵AB=3，DE=，
∴tan∠DAE=，
∴∠DAE=30°，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAF=30°，
∴CE=CF=3-，
∴EF=CE=3-；

（2）作出AE的垂直平分线和BC的交点即为点P，（如图所示），
连接AP，BP，则AP=PE，
设BP=x，则AP²=x²+3²，PE²=（3-x）²+（3-）²，
∴x²+3²=（3-x）²+（3-）²，
解得：x=-1，
∴BP=-1．
分析：（1）根据在直角三角形ADE中的边角关系可求出∠ADE=30°，由由已知条件可求出∠BAF=30°，进而求出AF，AE的长，再利用勾股定理即可求出EF的长；
（2）由垂直平分线的性质可知，只要做出AE的垂直平分线和BC的交点即为点P，再有已知条件求出BP即可，连接AP，BP由垂直平分线的性质和勾股定理计算即可．
点评：本题考查了正方形的性质、解直角三角形的有关知识已经垂直平分线的基本作图和性质、勾股定理的运用，题目的综合性很强．