Question

若⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，⊙O₁与⊙O₂半径分别为2和

2

，公共弦长为2，则∠O₁AO₂的度数为（　　）

A．105°

B．75°或15°

C．105°或15°

D．15°

Answer 1

分析：连接AB、O₁O₂，两线段交于点C，由垂径定理可得：O₁O₂⊥AB且平分AB，再解Rt△O₁CA、Rt△O₂CA，可得∠O₁AC、∠O₂AC，即可求得∠O₁AO₂的度数．

解答：解：连接AB、O₁O₂，两线段交于点C，如下图所示：
①如图1，∵AB为两圆的交线，O₁O₂为两圆圆心的连线，
∴O₁O₂⊥AB且平分AB；
∵已知O₁A=2，O₂A=

2

，AB=2，
∴在Rt△O₁CA中，cos∠O₁AC=

1

2

，
∴∠O₁AC=60°；
在Rt△O₂CA中，cos∠O₂AC=

2

2

，
∴∠O₂AC=45°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=105°，
②如图2所示：
同理可得：∴∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC=15°，
综上所述，∠O₁AO₂的度数为105°或15°．
故选C．

点评：本题主要考查了相交圆的性质及直角三角形的性质．注意要分类讨论，以防漏解．