Question

14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是中线，点E与点C关于AD对称，CE交AD于F，连接BE．
（1）求∠E的度数；
（2）求证：EB=EF．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质可得CF=EF，AF⊥CE，再根据中线的定义可得CD=DB，然后判断出DF是△BCF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DF∥BE，根据两直线平行，同位角相等可得∠E=∠CFD；
（2）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=EB，再根据CF=EF等量代换即可得证．

解答 （1）解：∵点E与点C关于AD对称，
∴CF=EF，AF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∵AD是中线，
∴CD=DB，
∴DF是△BCF的中位线，
∴DF∥BE，
∵∠E=∠CFD=90°；

（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠BCE，
在△ACF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BCE}\\{∠AFC=∠E=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CF=EB，
∵CF=EF，
∴EB=EF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，同角的余角相等的性质，（1）难点在于判断出DF是△BCF的中位线，（2）熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．