Question

已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，以两腰AB，CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M．
求证：MA=MD．

Answer 1

分析：过M作MN⊥AD于N，过F作FQ⊥MN于Q，过E作EP⊥MN于P，过D作DH⊥FQ于H，交BC于I，证△FHD≌△DIC，推出FH=DI，求出FQ=DI+DN同理EP=DI+AN，证Rt△EPM≌Rt△FQM，求出FQ=EP，根据线段垂直平分线性质求出即可．

解答：解：过M作MN⊥AD于N，过F作FQ⊥MN于Q，过E作EP⊥MN于P，过D作DH⊥FQ于H，交BC于I，
在△FHD与△DIC中，∠F=90°-∠FDH=∠CDI，∠FHD=∠DIC=90°，DF=DC，
∴△FHD≌△DIC，
∴FH=DI，
∴FQ=FH+HQ=DI+DN
同理可得，EP=DI+AN，
在△EPM和△FQM中，∠EPM=∠FQM=90°，∠EMP=∠FMQ，EM=FM
∴Rt△EPM≌Rt△FQM，
∴EP=FQ，
∴AN=DN，
∵MN⊥AD，
∴MA=MD．

点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线性质，正方形，对顶角等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．