Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BE⊥DP的延长线于点E，连接AE，过点A作FA⊥AE交DP于点F，连接BF、FC．下列结论中：①△ABE≌△ADF；②PF=EP+EB；③△BCF是等边三角形；④∠ADF=∠DCF；⑤S_△APF=S_△CDF．其中正确的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ②④⑤
4. D.
   ①③⑤

Answer 1

B
分析：根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠DAF，再根据等角的余角相等求出∠ABE=∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE≌△ADF；根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，判断出△AEF是等腰直角三角形，过点A作AM⊥EF于M，根据等腰直角三角形点的性质可得AM=MF，再根据点P是AB的中点得到AP=BP，然后利用“角角边”证明△APM和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AM，EP=MP，然后求出PF=EP+EB；根据全等三角形对应边相等求出DF=BE=AM，再根据同角的余角相等求出∠DAM=∠CDF，然后利用“边角边”证明△ADM和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠DCF，∠CFD=∠DMA=90°；再求出CD≠CF，判定△BCF不是等边三角形；求出CF＞FP，AM=DF，然后求出S_△APF＜S_△CDF．
解答：在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAF+∠BCF=90°，
∵FA⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD（对顶角相等），
∴∠ABE=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），故①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
过点A作AM⊥EF于M，则AM=MF，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∵在△APM和△BPE中，
，
∴△APM≌△BPE（AAS），
∴BE=AM，EP=MP，
∴PF=MF+PM=BE+EP，故②正确；
∵BE=DF，FM=AM=BE，
∴AM=DF，
又∵∠ADM+∠DAM=90°，∠ADM+∠CDF=90°，
∴∠DAM=∠CDF，
∵在△ADM和△DCF，
，
∴△ADM≌△DCF（SAS），
∴CF=DM，∠ADF=∠DCF，∠CFD=∠DMA=90°，故④正确；
在Rt△CDF中，CD＞CF，
∵BC=CD，
∴CF≠BC，
∴△BCF不是等边三角形，故③错误；
∵CF=DM=DF+FM=EM+FM=EF≠FP，
又∵AM=DF，
∴S_△APF＜S_△CDF，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④．
故选B．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度交点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．