Question

如图，已知等边△ABC，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且CE=AC．
（1）试说明△CDE为等腰三角形；
（2）DB与DE是否相等，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：
∵等边三角形ABC，DB⊥AC，
∴∠ACB=60°，CD=AD=BC，∠DCB=30°，
∵CE=BC，
∴CE=CD，
∴△CDE为等腰三角形；
（2）DB与DE相等，
理由如下：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC
∴∠CBD=∠ACB=30°，CD=AC，
∵CE=BC
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴BD=ED．
分析：（1）由等边三角形ABC得到∠ABC为60°，又DB垂直AC，根据“三线合一”得到∠DBC为30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得到CD等于BC的一半，由题中已知的CE等于AC的一半，等量代换可得CD=CE；
（2）由等边三角形ABC得到∠ACB为60°，又（1）得到CD=CE，根据“等边对等角”以及外角性质得到∠E=30°，又∠DBC为30°，故两角相等，再根据“等角对等边”得到BD=DE．
点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的判定．利用等腰三角形的性质可以解决证明角、边的相等问题，尤其在证明其性质和判定中展示的转换意识，对同学们分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值．