Question

（2013•杭州一模）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y=

c

x

的图象相交于B（-1，5），C（

5

2

，d）两点．
（1）求k，b的值；
（2）设点P（m，n）是一次函数y=kx+b的图象上的动点．
①当点P在线段AB（不与A，B重合）上运动时，过点P作x轴的平行线与函数y=

c

x

的图象相交于点D，求出△PAD面积的最大值．
②若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，直接写出实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先把B点坐标代入y=

c

x

可确定反比例函数解析式为y=-

5

x

，再把点C（

5

2

，d）代入y=-

5

x

可计算出d，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式，即求出k、b的值；（2）先确定A点坐标为（

3

2

，0），再用n表示P点坐标得到P（

3-n

2

，n），由DP∥x轴得到D点坐标为（-

5

n

，n），根据三角形面积公式得S_{△PAD的面积}=

1

2

×（

3-n

2

+

5

n

）×n，配成顶点式得y=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

，由于点P在线段AB（不与A，B重合）上运动，所以0＜n＜5，然后根据二次函数的最值问题得到△PAD的面积的最大值为

49

16

；
（3）结合直线y=-2x+3进行讨论：n=-2m+3，当m≤0，n≥3，实数m与n之间（不包括m和n）有多个整数；当m＞

3

2

时，n≤0，则实数m与n之间（不包括m和n）有多个整数；当m=n即m=1时，实数m与n之间（不包括m和n）没有整数；当1＜m≤

3

2

时，0＜n＜1，m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数1；当0＜m＜1时，1＜n＜3，m与n之间（不包括m和n）有2个整数，由于m=

1

2

，n=2，则当0＜m＜

1

2

时，2＜n＜3，m与n之间（不包括m和n）还是有2个整数，但当

1

2

≤m＜1时，1＜n≤2，m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数1，综合得到

1

2

≤m＜1或1＜m≤

3

2

．

解答：解：（1）将点B（-1，5）代入y=

c

x

，得c=-1×5=-5，
∴反比例函数解析式为y=-

5

x

，
将点C（

5

2

，d）代入y=-

5

x

得d=-

5

- 5 2

=-2，
∴C点坐标为（

5

2

，-2）；
把B（-1，5）、C（

5

2

，-2）代入y=kx+b得

5=-k+b -2= 5 2 k+b

，解得

k=-2 b=3

；
（2）①令y=0，即-2x+3=0，解得x=

3

2

，则A点坐标为（

3

2

，0），
一次函数的解析式为y=-2x+3，点P（m，n）在直线y=-2x+3上，则m=

3-n

2

，P点坐标表示为（

3-n

2

，n），
∵DP∥x轴，且点D在y=-

5

x

的图象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-

5

n

，即D点坐标为（-

5

n

，n），
∴S_{△PAD的面积}=

1

2

×（

3-n

2

+

5

n

）×n=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

，
∴a=-

1

4

，
∴S有最值，
又∵点P在线段AB（不与A，B重合）上运动，
∴-1＜m＜

3

2

，0＜n＜5，
而抛物线的顶点坐标为（

3

2

，

49

16

），
∴当n=

3

2

时，即P点坐标为（

3

4

，

3

2

）时，△PAD的面积S最大，最大值为

49

16

；
②实数m的取值范围为

1

2

≤m＜1或1＜m≤

3

2

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两函数的解析式；常用待定系数法求函数的解析式；运用二次函数的性质解决代数式的最值问题．