Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P（不与A、C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=-x²+bx+c与y轴交于B点，求出B点的坐标，再根据OA=OB，求出A点的坐标，将A点坐标代入解析式，整理后即可求出b+c的值；
（2）若四边形OABC是平行四边形，则CO∥AB，BC∥AO，用c表示出C点的坐标，把C点的坐标代入解析式，求出b和c的关系，结合（1）问，求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；
（3）△BPM是等腰直角三角形，设点P的坐标为（x，-x²+

1

2

x+

1

2

），由BM=PM，列出关于x的一元二次方程，求出x的值，即可求出M的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与y轴正半轴交于B点，
∴点B的坐标为（0，c），
∵OA=OB，
∴点A的坐标为（-c，0），将点A（-c，0）代入y=y=-x²+bx+c，得-c2-bc+c=0，
∵c≠0，整理得b+c=1；

（2）如图，如果四边形OABC是平行四边形，那么CO∥AB，BC∥AO，
∴点C的坐标可以表示为（c，c），
当点C（c，c）落在抛物线y=-x²+bx+c上时，得-c²+bc+c=c，
整理得b=c，
结合（1）问c+b=1，得b=c=

1

2

，
故此时抛物线的解析式为y=-x²+

1

2

x+

1

2

；

（3）△BPM是等腰直角三角形，设点P的坐标为（x，-x²+

1

2

x+

1

2

），
由BM=PM，列方程

1

2

-（-x²+

1

2

x+

1

2

）=x，解得x=

3

2

或x=0（舍去），
所以当x=

3

2

时，y=-(

3

2

)2+

1

2

×

3

2

+

1

2

=-1，
点M₁的坐标为（0，-1），
同理当BP=PM时，求出M₂点的坐标为（0，-

5

2

），
综上点M的坐标为（0，-1）或（0，-

5

2

）．

点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是求出b和c的两个关系式，此题难度不大，特别是第三问的解答需要分类讨论，需要同学们答题的时候注意．