Question

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（-2，3），且抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点B（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA-PB最大时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A（-2，3），∴可设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+3．
由题意得：a（0+2）²+3=2，解得：a=-．
∴物线的解析式为y=-（x+2）²+3，即y=-x²-x+2．

（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA²=（-2-p）²+3²，PB²=p²+2²，AB²=（3-2）²+2²=5
当PA=PB时，（-2-p）²+3²=p²+2²，解得：p=-；
当PA=AB时，（-2-p）²+3²=5，方程无实数解；
当PB=AB时，p²+2²=5，解得p=±1．
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（-，0）或（-1，0）或（1，0）．

（3）∵PA-PB≤AB，
∴当A、B、P三点共线时，可得PA-PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：
，解得．
∴直线AB的解析式为y=-x+2，
当y=-x+2=0时，解得x=4．
∴当PA-PB最大时，点P的坐标是（4，0）．
分析：（1）通过读题可以看出抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（-2，3），且经过B点，所以直接将抛物线的解析式设为顶点式，然后代入B点的坐标求解即可．
（2）首先设出P点的坐标，根据坐标系两点间的距离公式分别求出PA、PB、AB的长度（或表达式），然后分PA=PB、PA=AB、PB=AB三种情况列方程求解即可．
（3）当P、A、B三点不共线时，PA-PB＜AB（三角形三边关系定理），三点共线时，PA-PB=AB，综合来看：PA-PB≤AB，所以当PA-PB的值最大时，P、A、B三点共线，因此只需求出直线AB的解析式，该直线与x轴的交点即为符合条件的P点．
点评：此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定、三角形三边关系定理等重要知识；（2）题应注意等腰三角形的腰和底没有明确告知，所以要分情况进行讨论；最后一题中，找出PA-PB值最大时点P的位置是解决问题的关键．