Question

（2007•常州）已知A（-1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点．
（1）求k的值；
（2）若点C（-1，0），则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（-1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点，根据反比例函数性质可知：坐标之积相等，可列方程求k的值；
（2）判断是不是梯形，就要判定一组对边平行且不相等．求出坐标，既能求线段长度，又能判别平行，即解．
解答：解：（1）将A（-1，m）与B（2，m+3）代入反比例函数中，
得：m=-k，m+3=，
∴（-1）•m=2•（m+3），解得：m=-2，
则k=2；

（2）如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，
则CE=3，BE=，BC=2，
∵Rt△CBE中，BE=BC，
∴∠BCE=30°，
又点C与点A的横坐标相同，
∴CA⊥x轴，
∴∠ACB=120°，
当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意；
当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D，
过点A，D分别作x轴，y轴的平行线，交于点F，
由于∠DAF=30°，设DF=m₁（m₁＞0），则AF=m₁，AD=2m₁，
由点A（-1，-2），得点D（-1+m₁，-2+m₁），
因此（-1+m₁）•（-2+m₁）=2，
解之得（m₁=0舍去），
因此点，
此时，与BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形，
如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D，
由于AC=BC，因此∠CAB=30°，从而∠ACD=150°，作DH⊥x轴，H为垂足，
则∠DCH=60°，设CH=m₂（m₂＞0），则，CD=2m₂，
由点C（-1，0），得点，
因此，
解之得m₂=2（m₂=-1舍去），因此点D（1，2，
此时CD=4，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形，
如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，
同理可得，点D（-2，-），四边形ABCD是梯形，
综上所述，函数图象上存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形，
点D的坐标为：或D（1，2或D（-2，-）．
点评：此题难度中等，考查了反比例函数的图象和性质与四边形性质的结合，综合性较强，同学们要熟练掌握．