Question

如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC⊥OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD⊥OF于点D．
（1）当AC的长度为多少时，△AMC和△BOD相似；
（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）连结BC．当S_△AMC=S_△BOC时，求AC的长．

Answer 1

解：（1）∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，
∴△AMC和△BOD中，C与D是对应点，
∴△AMC和△BOD相似时分两种情况：
①当△AMC∽△BOD时，=tan∠EOF=2，
∵MC=4，
∴=2，
解得AC=8；
②当△AMC∽△OBD时，=tan∠EOF=2，
∵MC=4，
∴=2，
解得AC=2．
故当AC的长度为2或8时，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO为直角三角形．理由如下：
∵MC∥BD，
∴△AMC∽△ABD，
∴，∠AMC=∠ABD，
∵M为AB中点，
∴C为AD中点，BD=2MC=8．
∵tan∠EOF=2，
∴OD=4，
∴CD=OC-OD=8，
∴AC=CD=8．
在△AMC与△BOD中，
，
∴△AMC≌△BOD（SAS），
∴∠CAM=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，
∴△ABO为直角三角形；

（3）连结BC，设OD=a，则BD=2a．
∵S_△AMC=S_△BOC，S_△AMC=•AC•MC=2AC，S_△BOC=•OC•BD=12a，
∴2AC=12a，
∴AC=6a．
∵△AMC∽△ABD，
∴，即，
解得a₁=3，a₂=-（舍去），
∴AC=6×3=18．
分析：（1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似时分两种情况：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等及tan∠EOF=2列出关于AC的方程，解方程即可求出AC的长度；
（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS证明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根据平行线的性质及三角形内角和定理求出∠ABO=90°，进而得出△ABO为直角三角形；
（3）设OD=a，根据tan∠EOF=2得出BD=2a，由三角形的面积公式求出S_△AMC=2AC，S_△BOC=12a，根据S_△AMC=S_△BOC，得到AC=6a．由△AMC∽△ABD，根据相似三角形对应边的比相等列出关于a的方程，解方程求出a的值，进而得出AC的长．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，三角形中位线定理，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论是解决第一问的关键．