Question

2．在平面直角坐标系中，已知A（a，a²），B（b，b²）两点，其中a＜b，P，A，B三点共线．
（1）若点A、B在直线y=5x-6上，求A，B的坐标；
（2）若点P的坐标为（-2，2），且PA=AB，求点A的坐标；
（3）求证：对于直线y=-2x-2上任意给定的一点P，总能找到点A，使PA=AB成立．

Answer 1

分析 （1）由点A、B在直线y=5x-6上，即可得出a²=5a-6、b²=5b-6，即a、b是方程x²-5x+6=0的两个根，通过解一元二次方程得出a、b的值，将其代入点A、B的坐标中即可得出结论；
（2）根据PA=PB、P、A、B三点共线，即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程求出a的值，将其代入点A的坐标中即可得出结论；
（3）由点P在直线y=-2x-2上，可设出点P的坐标，结合PA=PB、P、A、B三点共线，即可得出关于a、b、x的方程组，消去b即可得出关于a的一元二次方程，根据根的判别式△＞0即可证出结论．

解答 解：（1）∵点A、B在直线y=5x-6上，
∴a²=5a-6，b²=5b-6，
即a、b是方程x²-5x+6=0的两个根，
∵a＜b，
∴a=2，b=3，
∴点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（3，9）．
（2）∵PA=PB，P，A，B三点共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-（-2）=b-a}\\{{a}^{2}-2={b}^{2}-{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1或a=-3，
∴点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．
（3）证明：∵点P在直线y=-2x-2上，
∴设点P的坐标为（x，-2x-2）．
∵PA=PB，P，A，B三点共线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-x=b-a}\\{{a}^{2}-（2a-2）={b}^{2}-a}\end{array}\right.$，
消去b得：2a²-4ax+x²-2x-2=0．
∵△=（-4x）²-4×2×（x²-2x-2）=8（x+1）²+8≥8，
∴关于a的方程2a²-4ax+x²-2x-2=0恒有两个不相等的实数根，
∴对于直线y=-2x-2上任意给定的一点P，总能找到点A，使PA=AB成立．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程组以及根的判别式，解题的关键是：（1）找出a、b是方程x²-5x+6=0的两个根；（2）找出关于a、b的二元二次方程组；（3）利用根的判别式恒大于0找出a值恒存在．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一元二次方程的根的判别式恒大于0找出点存在是关键．