Question

已知△ABC的面积为24，四边形DEFG是它的内接矩形，则矩形DEFG的面积最大值是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：设BC=a，BC边上的高是h，DE=y，则AM=h，AN=h-y，ah=48，设DG=x．依据相似三角形的性质可以表示出矩形DEFG的面积，然后利用二次函数的性质即可求解．

解答：解：作CM⊥BC于M，交DG于点N．

设BC=a，BC边上的高是h，DE=y，则AM=h，AN=h-y，ah=48，设DG=x．
∵△ADG∽△ABC，

DG

BC

=

h-GF

h

即

x

a

=

h-y

h

，则xh=ah-ay，
则y=

ah-xh

a

=

48-xh

a

，
则矩形DEFG的面积s=xy=

48-xh

a

x，
即s=-

h

a

x2+

48

a

x，
当x=-

48 a

- 2h a

=

24

h

时，s有最大值．
最大值是：-

h

a

(

24

h

)2+

48

a

×

24

h

=-

576

ah

+

48×24

ah

=-

576

48

+

48×24

48

=12，
故矩形DEFG的面积的最大值是12．
故答案为：12．

点评：本题是相似三角形的性质，二次函数的性质的综合应用，正确理解二次函数的性质是关键．