Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐系中画出这条抛物线；
（2）若点（x₀，y₀）在抛物线上，且1≤x₀≤4，写出y₀的取值范围；
（3）设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合），交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S
①求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
②求S取得最大值时P的坐标；
③设四边形OBMC的面积为S’，判断是否存在点P，使得S=S’，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标．
（2）本题需先根据抛物线的解析式，分两种情况进行分析，当x₀=1时和x₀=4时y₀的值，即可求出它们的取值范围．
（3）本题需先根据题意设出直线BM的解析式，再把B与M点的坐标代入，求出直线BM的解析式，从而得出P点的坐标，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的时候，S最大，得出P点的坐标，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S^′，也就是不存在点P．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

∴

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3
∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4）

（2）∵抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，
当x₀=1时，y₀=4
当x₀=4时，
y₀=-5，
∴当1≤x₀≤4时，-5≤y₀≤4

（3）①设直线BM的解析式为y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得

3m+n=0 m+n=4

，
∴

m=-2 n=6

∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，
∴P点的坐标为：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S_△AOC+S_梯形OQPC
=

1

2

×OA×OC+

1

2

（OC+PQ）×OQ 
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2t+6）×t
=-t2+

9

2

t+

3

2

（1≤t＜3）
②S=-t2+

9

2

t+

3

2

=-（t2-

9

2

t-

3

2

）
=-（t-

9

4

)2+²+

105

16

∴当t=

9

4

时，S最大，
∴S的最大值为

105

16

，这时P点坐标为（

9

4

，

3

2

）
③S=

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4
=

7

2

+4
=

15

2

∴S的最大值为

105

16

105

16

＜

15

2

∴S=S′不可能，
∴不存在点P，使S=S′．

点评：本题主要考查了二次函数综合问题，在解题时要涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和取值范围以及最大值问题，在求有关最值问题时要注意分析题意分情况讨论结果．