Question

4．已知，如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AE是高，BD是∠ABC的平分线，AE与BD相交于点F，DH⊥BC，垂足为H，求证：四边形AFHD是菱形．

Answer 1

分析 首先判定该四边形为平行四边形，然后得到其邻边相等，从而证得四边形AEFD为菱形．

解答 证明：∵BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，DH⊥BC，
∴∠ABD=∠DBH，AD=DH，
在△ABD和△HBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BHD}\\{∠ABD=∠HBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADF=∠FDH，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
即 AE∥DH，
∴∠AFD=∠FDH=∠ADF，
∴AF=AD，
又AD=DE，
∴AF=DH且AF∥DH，
∴四边形AFHD为平行四边形，
又AD=DH，
∴四边形AFHD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．