Question

如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB．求证：
（1）AP=AQ；　
（2）AP⊥AQ．

Answer 1

证明：（1）∵AC⊥BE，AB⊥QC，
∴∠BFP=∠CEP=90°，
∴∠BAC+∠FCA=90°，∠ABP+∠BAC=90°
∴∠FCA=∠ABP，
在△QAC的△APB中，，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AP=AQ；

（2）∵△QAC≌△APB，
∴∠AQF=∠PAF，
又AB⊥QC，
∴∠QFA=90°，
∴∠FQA+∠FAQ=90°，
∴∠FQA+∠PAF=90°，
即∠PAQ=90°，
∴AP⊥AQ．
分析：（1）首先证明∠FCA=∠ABP，再加上条件BP=AC，CQ=AB可以证明△QAC≌△APB进而得到AP=AQ；
（2）根据△QAC≌△APB可得∠AQF=∠PAF，再证明∠FQA+∠FAQ=90°可得∠FQA+∠PAF=90°，进而得到∠PAQ=90°，即可证出AP⊥AQ．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及垂直，关键是证明△QAC≌△APB，根据全等可证明角和边的相等关系．