Question

5．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为（　　）

• A． 2cm
• B． 3cm
• C． 4cm
• D． 6cm

Answer 1

分析 由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC，AC=BE，由E是BC的中点，得到BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=4．

解答 解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DBC}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=8cm，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD=4cm．
故选C．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键