Question

如图，点P（﹣1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（　　）

A．

10

B．

8

C．

6

D．

不确定

Answer 1

B解：设反比例函数的解析式为y=，

∵点P（﹣1，1）在反比例函数y=的图象上，

∴k=xy=﹣1．

∴反比例函数的解析式为y=﹣．

设直线l1的解析式为y=mx+n，

当x=0时，y=n，则点B的坐标为（0，n），OB=n．

当y=0时，x=﹣，则点A的坐标为（﹣，0），OA=．

∵tan∠BAO=1，∠AOB=90°，

∴OB=OA．

∴n=

∴m=1．

∵点P（﹣1，1）在一次函数y=mx+n的图象上，

∴﹣m+n=1．

∴n=2．

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）．

∵点M在第四象限，且在反比例函数y=﹣的图象上，

∴可设点M的坐标为（a，﹣），其中a＞0．

设直线l2的解析式为y=bx+c，

则ab+c=﹣．

∴c=﹣﹣ab．

∴y=bx﹣﹣ab．

∵直线y=bx﹣﹣ab与双曲线y=﹣只有一个交点，

∴方程bx﹣﹣ab=﹣即bx2﹣（+ab）x+1=0有两个相等的实根．

∴[﹣（+ab）]2﹣4b=（+ab）2﹣4b=（﹣ab）2=0．

∴=ab．

∴b=，c=﹣．

∴直线l2的解析式为y=x﹣．

∴当x=0时，y=﹣，则点D的坐标为（0，﹣）；

当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0）．

∴AC=2a﹣（﹣2）=2a+2，BD=2﹣（﹣）=2+．

∵AC⊥BD，

∴S四边形ABCD=AC•BD

=（2a+2）（2+）

=4+2（a+）

=4+2[（﹣）2+2]

=8+2（﹣）2．

∵2（﹣）2≥0，

∴S四边形ABCD≥8．

∴当且仅当﹣=0即a=1时，S四边形ABCD取到最小值8．