Question

已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y=（k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+．（1）当n=1时，求点A的坐标；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）设n是小于20的整数，且k≠，求OP²的最小值．

Answer 1

解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，
（1）当n=1时，s=，∴a==．
∴A（，0）
（2）解法一：
∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n=．
∴1+=an．
即n⁴﹣4n²+4=0，
∴k²﹣4k+4=0，
∴k=2．
解法二：
∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n．
设△OPQ的面积为s₁
则：s₁=×mn=（1+），
即：n⁴﹣4n²+4=0，
∴k²﹣4k+4=0，
∴k=2．
（3）
∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s₁，则=
即：=化简得：
2n⁴+2k²﹣kn⁴﹣4k=0
（k﹣2）（2k﹣n4）=0，
∴k=2或k=（舍去），
∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP²=n²+m²=n²+又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整数．
当n=1时，OP²=5，
当n=2时，OP²=5，
当n=3时，OP²=3²+=9+=，
当n是大于3且小于20的整数时，
即当n=4、5、6…19时，OP²的值分别是：
42+、52+、62+…192+，
∵192+＞182+＞32+＞5，
∴OP²的最小值是5．