Question

18．如图是一服装包装袋挂于墙上的示意图，绳子BAC挂在墙上支点A处，为使包装袋平衡，绳子均匀的挂在A点处（即AB=AC），绳子的总长为30cm，此时绳子与水平线夹角为72°．
（1）求袋子两支点BC的距离；
（2）为了让包装袋离地面更远，先在绳子上打一个结，然后均匀的挂在A点处，使得绳子与水平线的夹角为30°，求绳子减少的长度（结果精确到0.1cm，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）．

Answer 1

分析 （1）直接利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数关系求出答案；
（2）直接利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数关系求出答案．

解答 解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，绳子与水平线夹角为72°，绳子的总长为30cm，
∴AB=AC=15cm，∠ACB=∠ABC=72°，
∴cos72°=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{BH}{15}$≈0.31，
解得：BH=4.65，
故BC=2BH=9.3（cm），
答：袋子两支点BC的距离为9.3cm；

（2）如图2，过点A作AN⊥BC于点N，
∵BC=9.3cm，
∴BN=CN=4.65cm，
∵绳子与水平线的夹角为30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴cos30°=$\frac{BN}{AB}$=$\frac{4.65}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：AB≈5.4（cm），
∴绳子减少的长度为：15-5.4=9.6（cm）．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用等腰三角形的性质是解题关键．