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    （2013•荆门模拟）如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（-3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．
    （1）求直线BC及抛物线的解析式；
    （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
    （3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先根据y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C求出C点的坐标，再用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，把B、C两点的坐标代入所设函数解析式即可求出此解析式；
    （2）根据（1）中二次函数的解析式可求出A、D两点的坐标，判断出△OBC是等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义可求出∠OBC的度数，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的长，再根据相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根据相似三角形的对应边成比例可求出PF的长，再点P在抛物线的对称轴上即可求出点P的坐标；
    （3）先根据梯形的面积公式求出四边形EFOC的面积，再假设直线过点F，求出△OCF的面积与四边形EFOC的面积的一半相比较可知，直线必过线段OF，再假设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），再根据三角形的面积公式求出x的值，利用待定系数法求出直线CG的解析式，再求出此直线与抛物线的交点即可．
    解答：解：（1）∵y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
    ∴此时直线的解析式为y=kx-3，令x=0，则y=-3，
    ∴C（0，-3），
    设直线BC的解析式为y=kx-3．
    ∵B（-3，0）在直线BC上，
    ∴-3k-3=0解得k=-1．
    ∴直线BC的解析式为y=-x-3．
    ∵抛物线y=-x2+bx+c过点B，C，
    ∴
    -9-3b+c=0
    c=-3
    ，
    解得
    b=-4
    c=-3
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3；

    （2）由y=-x2-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．
    ∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
    可得△OBC是等腰直角三角形．
    ∴∠OBC=45°，CB=3
    		2
    ．
    设抛物线对称轴与x轴交于点F，
    ∴AF=
    1
    2
    AB=1．
    连接AE，
    ∵∠AEF=∠BEF=45°，
    ∴∠AEB=90°．
    可得BE=AE=
    		2
    ，CE=2
    		2
    ，
    在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
    ∴△AEC∽△AFP．
    ∴
    AE
    AF
    =
    CE
    PF
    ，
    		2
    1
    =
    2
    		2
    PF
    ，解得，PF=2，
    ∵点P在抛物线的对称轴上，
    ∴点P的坐标为（-2，-2），（-2，2）（不合题意舍去）．

    （3）存在．
    ∵D（-2，1），C（0，-3），直线BC的解析式为y=-x-3，
    ∴F（-2，0），E（-2，-1），
    ∴S梯形EFOC=
    1
    2
    （EF+OC）•OF=
    1
    2
    ×（1+3）×2=4，
    ∵当直线CM过点F时，S△OCF=
    1
    2
    OC•OF=
    1
    2
    ×3×2=3＞
    1
    2
    S梯形EFOC=2，
    ∴直线必过线段OF，设直线CM与线段OF相较于点G（x，0），则S△OCG=
    1
    2
    OC•OG=
    1
    2
    ×3×
    （-x）=2，解得x=-
    4
    3
    ，
    ∴G（-
    4
    3
    ，0），
    设直线CM的解析式为y=kx+b（k≠0），
    ∵C（0，-3），G（-
    4
    3
    ，0）在直线CM上，
    ∴
    b=-3
    -
    4
    3
    k+b=0
    ，解得
    b=-3
    k=-
    9
    4
    ，
    ∴直线cm的解析式为y=-
    9
    4
    x-3，
    ∴
    y=-
    9
    4
    x-3
    y=-x2-4x-3
    ，解得
    x=0
    y=-3
    或
    x=-
    7
    4
    y=
    15
    16
    ．
    ∴直线CM的解析式为y=-
    9
    4
    x-3．
    点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、梯形及三角形的面积等相关知识，难度较大．
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