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    1．如图1，△ABC和△A′B′C′是两个全等的等腰直角三角形，且∠C=∠C′=90°，$AC=BC=2\sqrt{2}$，其中D、E分别为△ABC中AC，BC的中点，现将两三角形如图所示放置，A点与B′重合，且A，A′，B，B′在同一条直线上，现将△A′B′C′沿射线AB方向向右匀速运动，速度为1cm/s，直到E点落在B′C′上停止运动．
    （1）试写出在运动过程中△A′B′C′与四边形DABE重叠部分的面积S与时间t的函数关系式；
    （2）如图2，若O为△ABC内角平分线的交点，在（1）的运动中当△A′B′C′平移到C′与C重合时，让△ABC保持不动将△A′B′C′绕点O顺时针方向旋转，在旋转过程中，直线A′B′与直线AC相交于点K，则是否存在这样的点K使得△ABK为等腰三角形？若存在，试求出△ABK的面积；若不存在，请说明理由；
    （3）如图3，在（2）的前提下，当将△A′B′C′绕点O顺时针方向旋转45°时，如图，试求出△ABC和△A′B′C′重叠部分的面积是多少？

    分析 （1）分两种情形①如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是△AB′G．如图2中，当2＜t≤4时，重叠部分是等腰梯形ADGB′．分别计算即可．
    （2）存在．分两种情形讨论即可①如图3中，当BA=BK时，△ABK是等腰直角三角形，②如图4中，当AK=AB时，△ABK是等腰三角形．
    （3）如图5中，连接O、AO、CO，延长CO交AB于K．根据△ABC和△A′B′C′重叠部分的面积=S△ABC-S△AEI-S△CFP-S△GHB计算即可．

    解答 解：（1）如图1中，当0＜t≤2时，重叠部分是△AB′G．

    S=$\frac{1}{2}$•AG•GB′=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）2=$\frac{1}{4}$t2．
    如图2中，当2＜t≤4时，重叠部分是等腰梯形ADGB′．

    S=$\frac{1}{2}$[t+（t-$\sqrt{2}$）•1=t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

    （2）存在．①如图3中，当BA=BK时，△ABK是等腰直角三角形，此时S=$\frac{1}{2}$×AB×BK=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

    ②如图4中，当AK=AB时，△ABK是等腰三角形，S=$\frac{1}{2}$AK•BC=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．


    （3）如图5中，连接O、AO、CO，延长CO交AB于K．

    ∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•OK，
    ∴OK=OM=KH=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
    ∵当将△A′B′C′绕点O顺时针方向旋转45°时，
    ∴∠AIE=45°，
    由题意EO平分∠CEI，
    ∴∠CEO=∠CAB=45°，
    ∴EO∥AB，
    ∴∠EAO=∠OAB=∠EOA，
    ∴EA=EO=CO，设AE=EO=CO=a，
    则a+$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{2}$，
    ∴a=4-2$\sqrt{2}$，
    ∴CM=6-4$\sqrt{2}$，BH=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
    ∴△ABC和△A′B′C′重叠部分的面积=S△ABC-S△AEI-S△CFP-S△GHB
    =$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$•（4$\sqrt{2}$-4）×（2$\sqrt{2}$-2）-$\frac{1}{2}$•（12-8$\sqrt{2}$）（6-4$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$•（4-2$\sqrt{2}$）2
    =64$\sqrt{2}$-88．

    点评 本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会画好图形，学会分类讨论，注意解题时不能漏解，属于中考常考题型．

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    （2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

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