Question

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=

4

5

（如图1），D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止．过E作EF∥AC交AB于F，联结DF．
（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域；
（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；
（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图2）．求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据三角形ABC为等腰三角形，腰AB=AC=10，底角B满足cosB=

4

5

，可求得BC，再由EF∥AC，则

EF

AC

=

BE

BC

，把BD=x，EF=y，DE=3代入即可得出
y关于x的函数，再写出再写出自变量的取值范围即可，（0≤x≤13）．
（2）依题意易得出FB=FE=

5

8

（x+3）．若∠FDB为直角时有BD=DE．可得出x的值为3，根据cosB=

4

5

，得FD，从而得出三角形BDF的面积；若∠BFD为直角时，则BF=EF即可得出x的值，从而得出三角形BDF的面积；
（3）根据MN∥BC，可得出线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，直接写出面积即可．

解答：解：（1）∵在等腰三角形ABC中，腰AB=AC=10，底角B满足cosB=

4

5

，
∴BC=10×

4

5

×2=16．
∵EF∥AC，
∴

EF

AC

=

BE

BC

．
BD=x，EF=y，DE=3
∴y=

5

8

（x+3）．（0≤x≤13）．

（2）依题意易得在三角形FBE中，FB=FE=

5

8

（x+3）．
若∠FDB为直角时（如图1），有BD=DE．
∴x=3     
又∵cosB=

4

5

，
∴FD=

3

4

BD=

3

4

×3=

9

4

．
∴三角形BDF的面积为

1

2

×

9

4

×3

27

8

．
若∠BFD为直角时（如图2），BF=EF=

5

8

（x+3）=

4x

5

，
∴x=

75

7

，
∴△BDF的面积为

1

2

×

75

7

×

4

5

×

75

7

×

3

5

=

1350

49

，


（3）平行四边形．面积为

13

4

．

点评：本题考查了相似三角形的综合运用，以及三角函数、勾股定理和三角形面积的计算，本题是难度较大的动点题目，在做题时要认真思考每一个已知条件，是解决问题的关键．