Question

如图，AD是⊙O的直径，过⊙O上一点E作直线l，交AD的延长线如点B，AC⊥l于点C，AC交⊙O于点G，E为的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC+GC=5，⊙O的半径为r，求代数式+的值．

Answer 1

（1）证明：连接OE，GD交于F．
∵AD是⊙O的直径，
∴OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵E为的中点，∴=，
∴∠GAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠GAE，
∴OE∥AC，
又AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OE∥AC，OD=OA，
∴OF三角形AGD的中位线，
∴OF=r-EF=（AC-CG）=（AC+GC-2GC）=×5-GC=-GC，
则r=．
把r=代入代数式+得：
+=4，
所以代数式+的值为4．
分析：（1）连接OE，OE=OA，则得∠OEA=∠OAE，又由，E为的中点，推出=，所以∠GAE=∠OAE，则∠OEA=∠GAE，所以OE∥AC，因此OE⊥BC，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）由（1）证得OE∥AC，OD=OA，所以OF是三角形ADG的中位线，所以可求出r，从而求出代数式+的值．
点评：此题考查的知识点是切线的判定、等腰三角形的判定与性质，关键（1）是先由半径的等腰三角形得角相等，等弧的圆周角相等，得OE∥AC，即得AC⊥BC，从而得证；（2）关键是先证得OF是三角形AGD的中位线，从而求出半径r．