Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是C（2，-1），与x轴交于点A（1，0），其对称轴与x轴相交于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AC，过点A做AC的垂线交抛物线于点D，交对称轴于E，求直线AD的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接BD，若点P在x轴正半轴，且以A、E、P为顶点的三角形与△ABD相似，求出所有满足条件的P点坐标．

Answer 1

解：（1）∵已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是C（2，-1），
∴设该抛物线解析式为y=a（x-2）²-1（a≠0）．
把点A（1，0）代入，
解得a=1，
∴该函数解析式为：y=（x-2）²-1．（或y=x²-4x+3）．

（2）∵由（1）知，该函数解析式为：y=（x-2）²-1=（x-1）（x-3），
即y=（x-1）（x-3），
∴A（1，0）．
∵顶点坐标是C（2，-1），CF是对称轴，
∴AF=CF=1，∠AFC=90°，
∴∠FAC=45°，
∵AC⊥AD，
∴∠DAB=45°，故可设直线AD的解析式为y=x+b．
把点A（1，0）代入，
解得b=-1，
∴直线AD的解析式为y=x-1．

（3）∵由（2）知，∠DAB=45°，即∠EAF=45°，
∴在直角△AEF中，∠EAF=∠AEF=45°，
∴AF=EF=1，
∴AE=，AB=2．
∵点D的抛物线y=x²-4x+3与直线ADy=x-1的交点，
∴，
解得，（不合题意，舍去），或，
∴D（4，3），
∴AD=3，BD=
①如图1，当△ABD∽△AEP时，
=，即=，
解得AP=3，
∴P（4，0）；
②如图2，当△ABD∽△APE时，=，即=，解得：AP=，∴P（，0）；
③如图3，当△ABD∽△PAE时，=，即=，解得，AP=，∴P（1-，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标是（4，0）、（，0）和（1-，0）．
分析：（1）可设该抛物线解析式为顶点式y=a（x-2）²-1．把点A的坐标代入来求a的值即可；
（2）根据点A、C的坐标求得∠FAC=45°，则∠DAB=45°，故可设直线AD的解析式为y=x+b．把点A的坐标代入并求得b的值；
（3）以A、E、P为顶点的三角形与△ABD相似，对于这两个三角形的对应角与对应边没有明确的情况下，需要分类讨论：①如图1，当△ABD∽△AEP时；②如图2，当△ABD∽△APE时；③如图3，当△ABD∽△PAE时．根据这些相似三角形的对应边成比例可以求得线段AP的长度．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数、二次函数解析式，相似三角形的判定与性质．第（3）小题中，用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．