Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=

3

4

．
（1）求证：CD∥BF；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，所以cos∠BAD=

AD

AB

=

3

4

，然后利用三角函数即可求出⊙O的半径；
（3）由于cos∠DAE=

AE

AD

=

3

4

，而AD=3，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．

解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，（1分）
∵AB⊥CD，
∴CD∥BF；（2分）

（2）解：连接BD，∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，（4分）
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

3

4

，
又∵AD=3，
∴AB=4，
∴⊙O的半径为2；（5分）

（3）解：∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=

AE

AD

=

3

4

，AD=3，
∴AE=ADcos∠DAE=3×

3

4

=

9

4

，（6分）
∴ED=

32-( 9 4 )2

=

3 7

4

，（7分）
∴CD=2ED=

3 7

2

．（8分）

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．