Question

如图，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），三角尺的另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F，当点E在AB边的中点位置时：
（1）通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是______；
（2）连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是______；
（3）请证明你的上述两猜想．

Answer 1

（1）DE=EF；
（2）NE=BF；
证明：∵四边形ABCD是正方形N，E分别为AD，AB的中点
∴DN=EB，AN=AE
∵BF平分∠CBM
∴∠EBF=90°+45°=135°
又∵AN=AE，∠A=90°
∴∠DNE=180°-45°=135°
∴∠EBF=∠DNE
又∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中
，
∴△DNE≌△EBF（ASA）
∴DE=EF，NE=BF．
分析：可利用两角夹一边求解△DNE≌△EBF（ASA），进而可得出线段相等．
点评：能够利用正方形的性质求解一些三角形的全等问题．