Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．

⑴求证：CE＝CF；

⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

Answer 1

⑴证明：在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．

⑵解：GE＝BE＋GD成立．

∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴EG＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

⑶解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，

又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形．

∴AG＝BC＝12．

已知∠DCE＝45°，根据⑴⑵可知，ED＝BE＋DG．

设DE＝x，则DG＝x－4，

∴AD＝16－x．

在Rt△AED中，

∵，即．

解得：x＝10．

∴DE＝10．