Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）求证：BM=MN=NC．
（2）求MN的长度．

Answer 1

解：（1）证明：连接AM、AN，
在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
又∵ME、NF分别垂直平分AB、AC，
∴AM=BM，AN=NC，
∴∠MBA=∠MAB=30°，∠NAC=∠NCA=30°，
∴∠MAN=60°，
在△ABM和△ANC中
，
∴△ABM≌△ANC，
∴AM=AN，
△AMN为等边三角形，
∴AM=MN=AN，
∴BM=MN=NC．

（2）由（1）知：MN=BC=3（cm），
答：MN的长度是3cm．
分析：（1）连接AM、AN，根据线段垂直平分线性质推出BM=AM，CN=AN，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠BAM=∠CAN，∠B=∠C，根据ASA证△BAM≌△CAN，推出AM=AN，证出△AMN是等边三角形即可；
（2）代入MN=BC，即可求出答案．
点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，通过做此题能培养学生综合运用定理进行推理的能力，题型较好，难度适中，综合性比较强．