Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，BC=2AB，P是BC的中点，∠MPN=60°，PM与直线AB交于点M，与直线AD交于点N．
（1）如图一，当点M、N分别在线段AB、AD上时，求证：AM+AN=

1

2

BC．
（2）如图二，当点M、N分别在线段AB、AD的延长线上时，请直接写出线段AM、AN、BC的关系式．
（3）在（2）的条件下，MP交AD于点E，PN交CD于点F，连结EF，若AE：DE=1：2，EF=2

7

，求BN的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）连接AP，根据条件证明△MBP≌△NAP就可以得出MB=NA，就可以得出结论；
（2）如图2，连接AP，证明△BPM≌△APN就可以得出BM=AN，由四边形APCD是平行四边形就可以得出AD=PC=AB而得出结论AN-AM=

1

2

BC；
（3）由AD∥BC，可以得出△EAM∽△PBM，由AE：DE=1：2，设比的一份为k，则AE=k，DE=2k，AB=CD=AD=BP=CP=3k．得出AM，BM，由△MBP∽△PFC可以得出CF，DF．过点F作FG⊥AN于点G，由勾股定理就可以求出k的值，过点B作BH⊥AN于点H，由勾股定理就可以求出结论．

解答：解：（1）如图一，连接AP，

∵P是BC的中点，
∴BP=

1

2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=BP，
∵∠B=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AP，∠MPN=∠BPA=60°．
在△MBP和△NAP中：

∠B=∠PAN BP=AP ∠MPB=∠NPA

，
∴△MBP≌△NAP（ASA），
∴BM=AN，
∴AM+AN=AM+BM=AB=

1

2

BC；

（2）AN-AM=

1

2

BC．
理由：如图二，连结AP，
∵P是BC的中点，
∴BP=PC=

1

2

BC．
∵BC=2AB，
∴AB=

1

2

BC=BP=PC．
∵∠B=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AP，∠MPN=∠BPA=∠BAP=60°．
∴∠BPA+∠APE=∠MPN+∠APE，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°．
∴∠PAN=60°．
∴∠B=∠PAN．
在△BPM和△APN中，

∠B=∠PAN BP=AP ∠BPM=∠APN

，
∴△BPM≌△APN（ASA），
∴BM=AN．∠M=∠N．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，AB=CD．
∴AP=CD，
∵∠B=60°，
∴∠C=60°，
∴∠BPA=∠C，
∴AP∥CD，
∴四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC．
∴AB=AD，
∴BM-AB=AN-AD，
∴AM=DN．
∵AB=

1

2

BC，
∴BM-AM=

1

2

BC，
∴AN-DN=

1

2

BC，
∴AN-AM=

1

2

BC；

（3）∵AE：DE=1：2，
∴设比的一份为k，则AE=k，DE=2k，
则AB=CD=AD=BP=CP=3k．
∵AD∥BC，
∴△EAM∽△PBM，
∴

AM

BM

=

AE

BP

，
∴

AM

3k+AM

=

k

3k

，
∴AM=

3

2

k，
∴BM=

9

2

k．
∵AD∥BC，
∴∠N=∠CPF，∠NDC=∠C=60°．
∴∠M=∠CPF．
∵∠B=∠C，∠M=∠CPF，
△MBP∽△PFC，
∴

BM

CP

=

BP

CF

，
∴CF=2k，
∴DF=k．
如图二，过点F作FG⊥AN于点G．
∵∠GDF=60°，
∴DG=

1

2

k，GF=

3

2

k，
∴EG=

5

2

k
∴FE=

7

k．
∵EF=2

7

，
∴k=2
∴AB=AD=6，DN=3
如图二，过点B作BH⊥AN于点H，
∴∠H=90°．
∵∠HAB=60°，
∴∠ABH=30°，
∴AH=

1

2

AB=3，BH=3

3

．
在Rt△BHN中，由勾股定理，得：
∴BN=3

19

．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键，寻找相似三角形是难点．