Question

已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点在y 轴正半轴上（如图（1））。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式；

（2）如图（2），点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
②又连接CD、CP（如图（3）），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵OC2=OA·OB， ∴OA·OB=4， 又∵OA+OB=5，且OA＜OB， 解得，OA=1，OB=4， ∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）， 把C点坐标代入得， ∴；
（2）①当△BDE为等腰三角形时，点E的坐标分别为， ②存在，过点D作直线DM垂直于x轴交CP于点M， 可求得直线CP的解析式为：y=； （i）当点P在直线DM右侧时，如图（1）所示， 此时2＜m＜4， 把x=2代人直线CP的解析式， 得 又P（m，n）在抛物线上， 所以 S △CDP= S△PDM +S△CDM DM·2=·DM=m+n-2， 即 当时，△CDP的面积最大，最大面积为； （ii）当点P在直线DM左侧时，如图（2）所示，此时0＜m≤2， S△CDP= S△CDM - S△DPM ， 当m=2时，S△CDP=3， 综上所述，当时△CDP的面积最大，其最大面积为，此时。