Question

（2012•白云区一模）如图，

AD

是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为

AD

上一动点，当BP经过弦AD的中点E时，四边形ACBE的周长为

12+6

2

．（结果用根号表示）

Answer 1

分析：利用垂径定理，圆心角、弦间的数量关系证得△AEB是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求得AE、BE的值；最后根据等边三角形的性质、四边形的周长计算公式来求四边形ACBE的周长即可．

解答：解：如图，AE=DE．
∵点B是圆心，
∴BE⊥AD；
又∵

AD

是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=45°，
∴在直角三角形ABE中，利用勾股定理知，AE=BE=3

2

；
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=6，
∴四边形ACBE的周长为：AC+BC+AE+EB=12+6

2

；
故答案是：12+6

2

．

点评：本题综合考查了垂径定理、勾股定理、等边三角形的性质．求得AE=BE=3

2

是解题的难点，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．