Question

（2012•南通）如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=

1

2

x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=

1

2

x²+bx+c向上平移

7

2

个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．

Answer 1

分析：（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．

解答：解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=

1

2

x²+bx+c中，得：

0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0

，
解得：

b=-1 c=-4

故抛物线的解析式：y=

1

2

x²-x-4．

（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=

1

2

（x+m）²-（x+m）-4+

7

2

，即：y=

1

2

x²+（m-1）x+

1

2

m²-m-

1

2

；
它的顶点坐标P：（1-m，-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，
∴4k+b=0，b=-4，
∴y=x-4．
同理直线AB：y=-2x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=

5

2

；
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜

5

2

；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜

5

2

．

（3）由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB；
如图，在△ABN、△AM₁B中，
∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；
易得：AB²=（-2）²+4²=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM₁=20÷2=10；
而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，
∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂-OA=6-4=2．
综上，AM的长为10或2．

点评：考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．