Question

已知反比例函数y=

k

x

图象过第二象限内的点A（-2，m），AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为2，若直线AC经过点A，并且经过反比例函数y=

k

x

的图象上另一点C（n，-

3

2

）．
（1）反比例函数的解析式为

y=-

4

x

，m=

2

，n=

8

3

；
（2）求直线AC的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数式比例系数k的意义即可求得k的值，然后把A，C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m，n的值；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）存在点P使△PAO为等腰三角形，分O点、A点和P点是等腰三角形的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理以及垂直平分线的性质即可求解．

解答：解：（1）∵Rt△AOB面积为2，
∴|k|=4，
则反比例函数的解析式是：y=-

4

x

；
把A（-2，m）代入y=-

4

x

得，m=-

4

-2

=2；
把C（n，-

3

2

）代入y=

4

x

得：-

3

2

=-

4

n

，解得：n=

8

3

；

（2）设直线AC的解析式为y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（

8

3

，-

3

2

）
∵直线AC经过点A、B
∴

-2a+b=2 8 3 a+b=- 3 2

解得

a=- 3 4 b= 1 2

∴直线AC的解析式y=-

3

4

x+

1

2

．

（3）答：存在点P使△PAO为等腰三角形；
∵点A（-2，2），AB=|2|=2，
∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA=

AB2+OB2

=

22+22

=2

2

．
①以点O为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P₁、P₂，P₁（0，-2

2

），P₂（0，2

2

）．（如图1）
②以点A为圆心，以OA长为半径画弧，交y轴于点P₃、另一个交点与点O重合．由勾股定理算得P₃（0，4）．（如图1）
③作OA的垂直平分线l交y轴于P₄，如图2，
∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P₄OA=45°
∵直线l是OA的垂直平分线，∴∠P₄KO=90°，OK=

1

2

OA．
∴∠KP₄O=45°，OK=

1

2

×2

2

=

2

，∠P₄OA=∠KP₄O，OK=KP₄=

2

．
∴由勾股定理求得OP₄=2．点P₄（0，2）．
综上可知：满足条件的点P的坐标分别为：P₁（0，-2

2

），P₂（0，2

2

），P₃（0，4），P₄（0，2）．

点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．