Question

已知实数a、b满足条件a＞0，b＞0，且a+b=4，则代数式

a2+1

+

b2+4

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意构造三角形，然后利用轴对称的性质求最短距离．

解答：解：作图如下所示，作AC⊥AB，BD⊥AB，
设AC=1，BD=2，AB=4，
在AB上取一点F，将AB分为AF和BF，
设AF=a，BF=b=4-a，
∴CF=

a2+1

，DF=

b2+4

=

(4-a)2+4

，
∴CF+DF=

a2+1

+

b2+4

，
要求CF+DF的最小值，问题转化为在AB上找到一点F，使得CF+DF最小，
过C作关于AB对称点E，使得CA=EA=1，
连DE交AB于F，由CF+DF=DE，此时CF+DF最短．
∴代数式

a2+1

+

b2+4

的最小值=（CF+DF）的最小值=DE=

32+42

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式

a2+1

+

b2+4

的最小值巧妙地转化成几何问题．