Question

如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P（a，b）为双曲线上的一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．
（1）当点P的坐标为（，）时，求E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（2）用含a，b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积；
（3）求BE•AF的值．

Answer 1

解：（1）∵点P的坐标为（，）
而PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴E点的横坐标为，F点的纵坐标为，
∵点E、F在直线y=-x+1上，
当x=时，y=-+1=，
当y=时，=-x+1，则x=，
∴E、F两点的坐标分别为（，）、（，）；
∵A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，1），
∴S_△OAB=×1×1=，
∴S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=-×1×-×1×=；

（2）∵点P的坐标为（a，b），0＜a≤1，且b=，
而PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴E点的横坐标为a，F点的纵坐标为b，
∵点E、F在直线y=-x+1上，
∴当x=a时，y=-a+1，
当y=b时，b=-x+1，则x=-b+1，
∴E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b）；
S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=-×1×（-b+1）-×1×（-a+1）=（a+b-1）；

（3）作EG⊥y轴于G，FH⊥x轴于H点，如图，
∵OA=OB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴△GEB、△FHA都为等腰直角三角形，
∴BE=GE，AF=FH，
而E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，
∴BE=a，AF=b，
∴BE•AF=2ab=2×=1．
分析：（1）由点P的坐标为（，）可得到E点的横坐标为，F点的纵坐标为，而点E、F在直线y=-x+1上，易确定E、F两点的坐标分别为（，）、（，）；再求出A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，1），然后利用S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE进行计算即可；
（2）与（1）一样先确定E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b），再利用S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE进行计算即可；
（3）作EG⊥y轴于G，FH⊥x轴于H点，易得△GEB、△FHA都为等腰直角三角形，则BE=GE，AF=FH，而E、F两点的坐标分别为（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，则BE=a，AF=b，
即可得到BE•AF=2ab=2×=1．
点评：本题考查了反比例函数综合题：先设反比例函数图象上某点的坐标，然后利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特点表示其它有关点的坐标，然后利用面积公式建立等量关系，从而解决问题．