Question

4．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．
（1）求AD的长；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

Answer 1

分析 （1）先设AD=x，则DB=DE=8-x，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得AD²+AE²=DE²，据此列出方程x²+4²=（8-x）²，求得x=3，进而得到AD=3；
（2）分两种情况进行讨论：①当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，分别根据相似三角形的性质，得出关于t的方程，求得t的值．

解答 解：（1）由折叠可得，CE=CB=AO=10，而CO=AB=8，
∴OE=6，
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则DB=DE=8-x，
Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴AD=3；

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，
∵CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t，
①当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{EA}$=$\frac{CP}{ED}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得t=$\frac{40}{13}$；
②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{CQ}{ED}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{7}$，
综上所述，当t=$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质的综合应用，解题时注意：折叠的性质叠种对称变换，属于对称，折叠前后图形的形和小不变，位变化，对边和对应角相等．解题时注意分类思想的运用．