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课题:两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题.
实验与论证
设旋转角∠A1AB1=α(α<∠A1AB1),θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示.

(1)用含α的式子表示:θ3=______,θ4=______,θ5=______;θ6=______,
(2)图1中,连接AH时,在不添加其他辅助线的情况下,直线AH是否垂直平分线段A2B1
答:______;请说明你的理由;
归纳与猜想
设正n边形AA1A2…An-1与正n边形AB1B2…Bn-1重合(其中,A1与B1重合),现将正n边形AB1B2…Bn-1绕顶点A逆时针旋转α().
(3)设θn与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn的度数.
【答案】分析:(1)由正三角形的性质得α+θ3=60°,再由正方形的性质得θ4=45°-(45°-α)=α,最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α;
(2)存在,如在图1中直线AH垂直且平分的线段A2B1,由于△AA1A2与△AB1B2是全等的等边三角形,推得A2H=B1H,则点H在线段A2B1的垂直平分线上;由AA2=AB1,则点A0在线段A2B1的垂直平分线上,从而得出直线AH垂直且平分的线段A2B1
(3)规律:当n为奇数时,θn=-α;当n为偶数时,θn=α.
解答:解:(1)60°-α,α,36°-α.α;

(2)是                    
图1中直线AH垂直平分A2B1,证明如下:
证明:∵△AA1A2与△BB1B2是全等的等边三角形,
∴AA2=AB1
∴∠AA2B1=∠AB1A2
又∵△AA1A2与△AB1B2是等边三角形,
∴∠AA2H=∠AB1H=60°.
∴∠HA2B1=∠HB1A2
∴A2H=B1H.
∴点H在线段A2B1的垂直平分线上.
又∵AA2=AB1
∴点A在线段A2B1的垂直平分线上.
∴直线AH垂直平分A2B1. 

(3)当n为奇数时,;   
当n为偶数时,θn=α.
点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
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(1)用含α的式子表示解的度数:θ3=
 
,θ4=
 
,θ5=
 

(2)图1-图4中,连接A0H时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请选择其中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由;
归纳与猜想:
设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合(其中,A1与B1重合),现将正边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α(0°<α<
180n
°);
(3)设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样,请直接写出θn的度数;
(4)试猜想在正n边形的情形下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.

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(1)用含α的式子表示解的度数:θ3=______,θ4=______,θ5=______;
(2)图1-图4中,连接AH时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段?若存在,请选择其中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由;
归纳与猜想:
设正n边形AA1A2…An-1与正n边形AB1B2…Bn-1重合(其中,A1与B1重合),现将正边形AB1B2…Bn-1绕顶点A逆时针旋转α(0°<α<°);
(3)设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样,请直接写出θn的度数;
(4)试猜想在正n边形的情形下,是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.

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