Question

19．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．
（1）以点B为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则点D的坐标为（4$\sqrt{3}$，4）；
（2）过点O的直线EF交线段AD，BC分别于点E，F，若∠EOD为直角三角形，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）易知AB=CD=OA=OB=OC=OD=4，在Rt△BCD中求出BC即可；
（2）分两种情形求解①如图2中，当EF⊥AD时，易知AE=DE=4，此时E（4，4）．②如图3中，当EF⊥BD时，分别求解即可；

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OD=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=CD=OD=OC=4，
∴BD=8，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴D（4$\sqrt{3}$，4），
故答案为（4$\sqrt{3}$，4）．

（2）①如图2中，当EF⊥AD时，易知AE=DE=4，此时E（4，4）．


②如图3中，当EF⊥BD时，

在Rt△EOD中，cos∠EDO=$\frac{OD}{DE}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴$\frac{4}{DE}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$，
∴DE=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=8-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴E（8-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4），
综上所述，满足条件的点E坐标为（4，4）或（8-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4）．

点评 本题考查坐标与图形的性质、矩形的性质，直角三角形的判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．