Question

如图，矩形ABCD，过对角线的交点O作OE⊥BC于E，连接DE交OC于O₁，过O₁作O₁E₁⊥BC于E₁，连接DE₁交OC于O₂，过O₂作O₂E₂⊥BC于E₂，…，如此继续，可以依次得到点O₃，O₄，…，O_n，分别记△DOE，△DO₁E₁，△DO₂E₂，…，△DO_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n-1．则S_n=________S_矩形ABCD．

Answer 1

分析：根据矩形的性质推出△ABD≌△CDB，得到△ABD和△CBD的面积相等，且等于矩形面积的一半，根据等底等高的数据线的面积相等，求出S₁，同理求出S₂、S₃，根据结果得出规律，即可求出答案．
解答：∵矩形ABCD，
∴∠DCB=90°，AD=BC，AB=CD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CDB，
∴S_△ABD=S_△CBD=S_矩形ABCD，
∵矩形ABCD，
∴OB=OD，
∵OE⊥BC，∠DCB=90°，
∴OE∥CD，
∴BE=DE，
∴S_△DBE=S_△DEC=S_△DBC，
∴S₁=S_△DOE=S_△BOE=S_△DBE=S_△DBC=×S_{平行四边形ABCD}，
∵BO=DO，BE=CE，OE∥CD，
∴===，
同理：S₂=××S_矩形ABCD=×S_矩形ABCD，
S₃=×S_矩形ABCD，
…
S_N=×S_矩形ABCD=S_矩形ABCD，
故答案为：．
点评：本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能求出三角形的面积并根据结果得出规律是解此题的关键．