如图,在直角坐标系xOy中,正方形OCBA的顶点A,C分别在y轴,x轴上,点B坐标为(6,6),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B两点,且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果动点E,F同时分别从点A,点B出发,分别沿A→B,B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E,F随之停止运动,设运动时间为t秒,△EBF的面积为S.
①试求出S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1),,;(2)s=-(t-3)2+,; (9,3).
解析试题分析:(1)由于四边形OABC是正方形,易知点A的坐标,将A、B的坐标分别代入抛物线的解析式中,联立3a-b=-1,即可求得待定系数的值.
(2)①用t分别表示出BE、BF的长,利用直角三角形面积公式求出△EBF的面积,从而得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可求得S的最大值;
②当S取最大值时,即可确定BE、BF的长,若E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形,可有两种情况:一、EB平行且相等于FR,二、ER平行且相等于FB;只需将E点坐标向上、向下平移BF个单位或将F点坐标向左、向右平移BE个单位,即可得到R点坐标,然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证,找出符合条件的R点即可.
(1)由已知A(0,6),B(6,6)在抛物线上,
得方程组,解得.
(2)①运动开始t秒时,EB=6-t,BF=t,
S=EB•BF=(6-t)t=-t2+3t,
以为S=-t2+3t=-(t-3)2+,
所以当t=3时,S有最大值.
②当S取得最大值时,
∵由①知t=3,
∴BF=3,CF=3,EB=6-3=3,
若存在某点R,使得以E,B,R,F为顶点的四边形是平行四边形,
则FR1=EB且FR1∥EB,
即可得R1为(9,3),R2(3,3);
或者ER3=BF,ER3∥BF,可得R3(3,9).
再将所求得的三个点代入y=-x2+x+6,可知只有点(9,3)在抛物线上,
因此抛物线上存在点R(9,3),使得四边形EBRF为平行四边形.
考点:二次函数综合题.
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如图,抛物线经过A、C(0,4)两点,与x轴的另一交点是B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC的对称点的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点D作DE⊥BC于点E,反比例函数的图象经过点E,点在此反比例函数图象上,求的值.
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已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC =" 8" cm,BC =" 6" cm,EF =" 9" cm。
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5)。解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由。
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由。(图(3)供同学们做题使用)
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线过点,这条抛物线的对称轴与x轴交于点C,点P为射线CB上一个动点(不与点C重合),点D为此抛物线对称轴上一点,且?CPD=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P的横坐标为m,△PCD的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)过点P作PE⊥DP,连接DE,F为DE的中点,试求线段BF的最小值.
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已知二次函数与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点;二次函数的顶点为P.
(1)请直接写出:b=_______,c=___________;
(2)当∠APB=90°,求实数k的值;
(3)若直线与抛物线L2交于E,F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不发生变化,请求出EF的长度;如果发生变化,请说明理由.
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平面直角坐标第xoy中,A点的坐标为(0,5).B、C分别是x轴、y轴上的两个动点,C从A出发,沿y轴负半轴方向以1个单位/秒的速度向点O运动,点B从O出发,沿x轴正半轴方向以1个单位/秒的速度运动.设运动时间为t秒,点D是线段OB上一点,且BD=OC.点E是第一象限内一点,且AEDB.
(1)当t=4秒时,求过E、D、B三点的抛物线解析式.
(2)当0<t<5时,(如图甲),∠ECB的大小是否随着C、B的变化而变化?如果不变,求出它的大小.
(3)求证:∠APC=45°
(4)当t>5时,(如图乙)∠APC的大小还是45°吗?请说明理由.
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如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0), 点C(0,5),点D(1,8)在抛物线上,M为抛物线的顶点.求
(1)抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积.
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某公司开发了一种新型的家电产品,又适逢“家电下乡”的优惠政策.现投资40万元用于该产品的广告促销,已知该产品的本地销售量y1(万台)与本地的广告费用x(万元)之间的函数关系满足,该产品的外地销售量y2(万台)与外地广告费用t(万元)之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示,其中点A为抛物线的顶点.
(1)结合图象,写出y2(万台)与外地广告费用t(万元)之间的函数关系式;
(2)求该产品的销售总量y(万台)与外地广告费用t(万元)之间的函数关系式;
(3)如何安排广告费用才能使销售总量最大?
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2-CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
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