Question

如图（1），点A、B、C在同一直线上，且△ABE，△BCD都是等边三角形，连接AD，CE．
（1）△BEC可由△ABD顺时针旋转得到吗？若是，请描述这一旋转变换过程；若不是，请说明理由；
（2）若△BCD绕点B顺时针旋转，使点A，B，C不在同一直线上（如图（2）），则在旋转过程中：
①线段AD与EC的长度相等吗？请说明理由．
②锐角∠CFD的度数是否改变？若不变，请求出∠CFD的度数；若改变，请说明理由．
（注：等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°）

Answer 1

解：（1）△BEC可以由△ABD绕点B顺时针旋转60°得到．
理由如下：
∵△ABE，△BCD都是等边三角形，
∴BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
∴△ABD绕点B顺时针旋转60°可得到△BEC；
（2）AD=EC．理由如下：
∵△ABE，△BCD都是等边三角形，
∴BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC 中，
，
∴△ABD≌△EBC，
∴AD=EC；
②锐角∠CFD的度数不改变．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠FCD+∠FDC=∠FCD+∠BDC+∠ADB
=∠BCE+∠FCD+∠BDC
=∠BCD+∠BDC
=60°+60°
=120°
∴∠CFD=180°-（∠FCD+∠FDC）=180°-120°=60°．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠CBD=60°，则∠ABD=∠EBC，根据旋转的定义得到△ABD绕点B顺时针旋转60°可得到△BEC；
（2）根据等边三角形的性质得到BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠CBD=60°，则∠ABD=∠EBC，易证得△ABD≌△EBC，根据全等的旋转即可得到AD=EC；
（3）由△ABD≌△EBC得到∠BCE=∠BDA，则有∠FCD+∠FDC=∠FCD+∠BDC+∠ADB=∠BCE+∠FCD+∠BDC=∠BCD+∠BDC=60°+60°=120°，根据三角形内角和定理即可得到∠CFD的度数．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，并且它们的夹角也相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等、对应角相等．也考查了等边三角形的性质．