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如图,抛物线与直线交于点A 、B,与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标;
(2)若点P是直线x=1上一点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
符合条件的点P共有4个,分别为:P1(1,-8),P1′(1,8),P2(1,-4),P2′(1,12).

试题分析:(1)将两个函数解析式联立,组成一个方程组求得x、y的值即可得到两点的坐标;
(2)存在符合条件的点P共有3个.因而分三类情形探求.
①以AB为腰且顶角为∠A:△P1AB;②以AB为腰且顶角为∠B:△P2AB;③以AB为底,顶角为∠P的△PAB有1个,即△P3AB.综上得出符合条件的点.
试题解析:
解:(1)由题意得:解得:
∴A(-3,0)B(5,4)
(2)存在符合条件的点P共有4个.以下分三类情形探求.
由A(-3,0),B(5,4),C(0,4),可得BC∥x轴,BC=AC,
设直线x=1与x轴交于N,与CB交于M,
过点B作BQ⊥x轴于Q,易得BQ=4,AQ=8,AN=4,BM=4,
①以AB为腰且顶角为∠A:△P1AB.
∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80,
在Rt△ANP1中,


②以AB为腰且顶角为∠B:△P2AB.
在Rt△BMP2中,
∴P2(1,-4)或P2′(1,12),
③以AB为底,顶角为∠P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K,显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ.

∵P3K=1,
∴CK=2,于是OK=2,
∴P3(1,2),
而P3(1,2)在线段AB上,构不成三角形,舍去.
综上,符合条件的点P共有4个,分别为:
练习册系列答案
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(2)矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.
①直线GH与x轴交于点D,若AD∥BO,求t的值;
②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位,试求当0<t≤时,S与t之间的函数关系式.

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(1)求点A,B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标;若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果);若不能,说明理由.

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